Superdense Coding 与 Quantum Teleportation

Superdense Coding 与 Quantum Teleportation 是两种基础的量子通信方式. 本文将会用通俗易懂的方式简要介绍 Superdense Coding 与 Quantum Teleportation, 比较二者的异同, 并论述这两种通信方式与经典通信的关系.

Superdense Coding

Superdense Coding 的目标是使用一个量子比特传递两个经典比特才能传递的信息. 假设 Alice 与 Bob 两人在传递信息, Alice 要给 Bob 传送两个经典比特. 使用 Superdense Coding 的协议过程如下:

  1. 产生一个纠缠态 $|\psi\rangle=(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt 2$, 将第一个 qubit 给 Alice, 记为 $|q_A\rangle$; 第二个 qubit 给 B, 记为 $|q_B\rangle$. $|\psi\rangle$ 也可被写作$|q_Aq_B\rangle=(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt 2$.

  2. 假设 Alice 现在想要传输的信息为 $xy\in \{0,1\}^2$. Alice 根据自己想要传输的内容将相应的量子逻辑门作用在自己的 qubit 上. 对应的量子逻辑门与作用的结果如下:

    Ra85LQ.png

  1. Alice 将自己的 qubit 传输给 Bob, Bob 得到新的 $|q_Aq_B\rangle$ 后将一个量子逻辑门作用在其上, 进行解码:

    其中 CNOT Gate 的定义如下:

    CNOT Gate 作用在两个 qubit 上, 前者为控制位, 后者为受控位. 若控制位是 $|0\rangle$, 那么受控位不变; 若控制位是 $|1\rangle$, 那么受控位取反.

    对应的结果为:

    Ra87on.png

    上述过程其实是 Bob 对当前的纠缠态进行的一种测量, 得到的确定的结果与 Alice 想要传输的 2 比特内容相一致.

Quantum Teleportation

量子传态是一个非常巧妙的量子态远距离传输技术, 也是 Quantum Information 中最重要的技术之一. 想象这样一个场景: Alice 手中有一个量子态 $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$, 她想将这个态的传给 Bob, 该如何操作? 无论 Alice 是否确切地知道 $\alpha$ 与 $\beta$ 的数值, 运用经典的通讯方式 (如口头通知, 或写信, 或发邮件) 都是行不通的. 原因很简单, $\alpha$ 与 $\beta$ 可能是超出任何经典存储单元所能表示长度的无理数. 因此经典通讯是行不通的.

量子传态使得上述传输的实现成为可能. 除去 Alice 希望传输的 $|\psi\rangle$ 外, Alice 和 Bob 还各持有一个 qubit, 而这两个 qubit 是纠缠的. 不妨假设为来自同一个 EPR Pair, 即 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt 2}|11\rangle$, 即 Alice 和 Bob 手上的 qubit 总是一致的, 以各 $1/2$ 的概率是全 $0$ 或 全 $1$.

那么现在这三个 qubit 的组合情况可以写为:

其中前两个 qubit 属于 Alice, 最后一个 qubit 属于 Bob. 将其写为 $|q_Aq_{B_1}q_{B_2}\rangle$.

现在 Alice 将 $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 通过这对纠缠的 EPR Pair 传给 Bob. 具体过程如下:

  1. Alice 将前两个 Qubit 用 CNOT Gate 作用.

    那么三个 qubit 的组合变为:

  2. Alice 将第一个 qubit 用 Hamard Gate 作用. Hamard Gate 的定义如下:

    那么三个 Qubit 的组合变为:

    注意, 此时含有 $\alpha$ 和 $\beta$ 的信息已经转移到了第三个 qubit 上. Alice 手上的 $2$ 个 qubit 只有 $4$ 种情况, 一旦确定, 就能知道第三个 qubit 具体为上述的哪一种.

  3. Alice 测量她的两个 Qubit, 得到 $4$ 种可能性中的一种 $xy\in\{0,1\}^2$, 通过经典的传输发给 Bob. Alice 的测量结果 $|q_A\rangle$ 与 Bob 手上所得到的态 $|q_{B_1}q_{B_2}\rangle$的对应关系如下:

    Ra8vyF.png

  4. Bob 根据 Alice 发来的结果, 相应地去复原他手上的 qubit. 复原的方式为将相应的量子逻辑门作用在其上. 对应的量子逻辑门与作用的结果如下:

    RaGSeJ.png

上述是纯态, 单 qubit, 最大纠缠之下的量子传态. 实际上, 混态与多 qubit 的传态也是可以完成的, 这里不再赘述.

因此我们可以看到: 只要 Alice 和 Bob 共享了一对纠缠的 qubits, 无论他们距离有多远, 都可以通过这对纠缠, 将某个自己独有的 qubit 的信息传给另一个人, 且时间不会超过经典传输的时间 (注意也不可能超过光速, 因为传态是依赖于经典传输的).

Superdense Coding 与 Quantum Teleportation 的比较

二者的本质区别为: Superdense Coding 通过量子机制传输经典信息, 而 Quantum Teleportation 通过经典通信方式传输量子信息.

某种程度上, Superdense Coding 也是 Quantum Teleportation 的一个应用, 因为在 Alice 对自己的 qubit 进行酉变换后, 需要将这个 qubit 的信息发给 Bob. 这个过程可以通过直接发送该量子比特 (可能是一个光子) 来完成, 但更便捷的方法显然是通过 Teleportation 来实现.

量子通信与经典通信

Superdense Coding 通过传输 1 个量子比特, 实现 2 个经典比特信息的通讯. 但实际上, 在 Quantum Teleportation 的过程中, 我们也看到: 想要传输 1 个量子比特的传输, 实际上需要 2 给经典比特信息的传输.

在 Superdense Coding 的过程中, 作为收信方的 Bob 手上也已有一个 qubit, 且和 Alice 的 qubit 是纠缠的. 在量子机制中, "纠缠" 也可以被认为是一种资源. 在 Alice 向 Bob 发送信息之前, 他们彼此都已有共享了一对纠缠的公共知识; 类比于经典通信, 这相当于 Alice 在传输给 Bob 信息之前, 就已经通知对方了信息之间的某种"关联"方式.

且实际上, 前文中已经提到, 当 Alice 要将自己酉变换之后的量子比特传给 Bob 时, 可以通过直接运送该比特, 也可以通过 Teleportation 来实现. 若通过后者, 那么实际上也是要传输 2 个经典比特的.

因此在这个问题中, 我们可以理解为: 1 个量子比特本身所含的信息量是和 2 个经典比特等价的, 量子比特所能容纳更多信息的特点是量子机制原理所导致的. 因此在传输过程中, 传输 1 个量子比特与传输 2 个经典比特没有本质区别.

但相比于经典传输, Superdense Coding 与 Quantum Teleportation 的一大优点是安全性. 如果存在窃听者 Carol, 想要从 Alice 和 Bob 的通讯中窃取信息, 但由于没有 Bob 的量子比特,其无法从 Alice 发送的量子比特中得到任何信息. 并且如果 Carol 测量 Alice 的量子比特, Bob 的量子比特也会同时坍缩, 这样 Bob 会立刻意识到通信被监听了.